｜品質管制裡不均等衡量值設計的公理化解法

摘要：針對六標準差品質管制裡不均等衡量值問題，本文提出四階段的公理化解法。在此理論架構裡，需求分析發現對稱性、量尺不變性、加總性與可分解性是四項必要的條件。所以在第一階段裡，此四項必要條件被定義為公設。再從這四項公設推導出不均等衡量值的通用公式。在第二階段裡，這是分析此通用公式的品質管制意義以決定此公式的係數。在第三階段裡，含係數的不均等衡量值公式被分解成兩種不同的子公式。一種為在生產線內進行不均等衡量值的計算，而另一種為跨生產線來進行不均等衡量值的計算。在第四階段裡，此可分解性分析被延伸至包含製造批次。此公理化的解法提供兩大好處。一方面，這是理論架構下不均等衡量值的最佳設計。另一方面，可分解的公式使得不均等衡量值的平行計算成為可能，特別是當六標準差品質管制裡涉及大量產品資料的檢定情況下。

Abstract: An axiomatic approach consisting of four research stages has been proposed for designing the inequality measurement in six sigma quality control. In this theoretical approach, four necessary conditions are discovered in its requirements analysis: symmetry, scale invariant, additivity, and decomposability. As a result, the four conditions are defined as four independent axioms at the first stage. Then a general inequality measurement formula is derived as an inferential result from the given axioms. At the second stage, the quality control meaning of the formula is analyzed for deciding the coefficients of the formula. At the third stage, the formula with designed coefficients is decomposed into two different formulas. One is for the inequality measurement within each production line, and the other is for the inequality measurement between production lines. At the last stage, this decomposability analysis is extended to include the manufacturing batches. There are two major benefits for this axiomatic approach. On the one hand, the inequality measurement formula is an optimal design under a theoretical framework. On the other hand, the decomposable formula makes the parallel computations of inequality measurement possible in case that the inspected product data are especially huge in six sigma quality control.

關鍵詞：品質管制、不均等衡量值、公理化、泰爾指數、可分解性分析

Keywords：Quality Control, Inequality Measurement, Axiomatization, Theil Index, Decomposability Analysis

前言
在品質管制（Quality Control）裡，六標準差品質（Six Sigma Quality）[10]是指控制缺陷品（Defect）於百萬分之0.002個以下，及其平均值漂移1.5倍標準差時，控制缺陷品於百萬分之3.4個以下。這樣的理念常透過DMAIC五步驟[10]來達成，即定義（Define）、量測（Measure）、分析（Analyze）、改善（Improve）及控制（Control），如圖一所示。在量測步驟中，常以管制圖（Control Chart）[10]方式來區別缺陷品與非缺陷品。此方法可以累積缺陷品的相關統計數目以供進一步的分析與改善。但針對非缺陷品來說，其產品的變化程度則缺乏相關的統計工具來進行更深入的分析。例如圖二是典型的管制圖，其中很明顯地虛線的品質優於實線的品質。為了顯示此種優勢，本文提出透過不均等衡量值（Inequality Measurement）[1, 7]來呈現這種結果，而不均等衡量值是指能對觀察到的品質參數並反應出其不均等程度的數值。

對非缺陷品的分析來說，不均等衡量值的設計就成為品質管制上的一項挑戰。由於產品的生產來自生產線，工廠的生產線又常以批次方式來生產；所以不均等衡量值的設計必須要能反應出這樣的生產架構。換言之，可以對工廠所有產品進行不均等衡量值的量測；也可以對生產線的產品量測其不均等衡量值，再對生產線的不均等衡量值進行加總。但兩者計算出來的不均等衡量值一定要相同，這樣的品質管制才有意義。這種加總性質就稱為不均等衡量值的加總性質（Additivity Property）[2, 3, 4, 5, 6, 8]，而不均等衡量值可以透過工廠-批量-生產線-產品的架構來分別計算則稱為不均等衡量值的可分解性質（Decomposability Property）[3, 4]。不管在何種層次計算不均等衡量值，其計算公式必需具有一致性，這稱為不均等衡量值的一致性質（Consistency Property）[2, 3, 4, 5, 6, 8]；而計算過程中，所有的產品沒有差異化，這稱為不均等衡量值的對稱性質（Symmetry Property）[3, 4]。又品質參數的量測單位不應該造成計算不均等衡量值的統計結果，這稱為不均等衡量值的量尺不變性質（Scale Invariant Property）[3, 4]。由於這些性質非常重要，本文將對稱、量尺不變、加總、可分解四種性質定義為公設（Axiom）[9]，接著說明可由這四項公設導出不均等衡量值的數學通式。隨後再透過品質管制分析可以確定此數學通式的係數，此函數又俗稱為泰爾指數（Theil Index）[11, 12]。本文亦將說明此公式具有一致性質。

在經濟學裡的收入分配分析裡，一個常用來判斷不均等衡量值的重要條件是畢-達氏轉入原則（Pigou-Daltion Transfer Principle ）[1, 3, 4]，該原則說明如果將某收入從高所得者轉入到低所得者，則不均等衡量值會下降。本文則將此原則應用於品質管制裡，例如如果將某品質參數從距離期望值遠者轉入到距離期望值近者，則其不均等衡量值會下降。上述的泰爾指數滿足畢-達氏轉入原則[1, 4]。

為了說明上述品質管制分佈不均等衡量值的研究成果，底下將依圖三的四大步驟來說明。首先是從公理化（Axiomatization）[9]架構方式來推導出不均等衡量值的數學通式。更詳細來說，這是先將上述的對稱性質、量尺不變性質、加總性質、及可分解性質定義為四項公設，再從這四項公設推導出不均等衡量值的數學通式，並說明相關的一致性質與畢-達氏轉入原則。其次是從資訊理論（Information Theory）[11, 12]的機率意義與不均等衡量值的物理意義來設定數學通式的係數，特別是該數學函數與品質管制的物理意義能匹配。雖然此數學函數並非為了品質管制問題而發展的，但為了記念數學家泰爾（Theil, H.）[11, 12]早期的貢獻，這特定的品質管制函數就稱為泰爾指數，並舉例說明如何計算。當品質管制的不均等衡量值用泰爾指數表達時，接著第三步驟是從生產線與產品兩層次的角度導出其可分解性質的通式，即T = W + B。由於可分解性質是公理化架構裡的公設，所以最後步驟則以生產批量方式為例示範導出三層式的可分解式子。這裡的可分解性分析（Decomposability Analysis）是建立在工廠-批量-生產線-產品的階層式架構上。隨著製造系統的規模越來越大，未來尚可進一步擴充可分解性分析的範圍。最後則是結論。