｜應用曲線擬合技術於轉角線段之插補器設計

摘要：數控系統中，G01線段是最常用來描述刀具路徑的命令。傳統的插補方法在路徑的切線速度先做加減速規劃，再將速度命令分配到各軸，但此時會有各軸速度差的問題發生，透過後插補的方式雖然可以讓各軸速度命令平滑，但同時會造成轉角上的命令誤差，然而轉角命令誤差要計算並不容易，其誤差值會與最大加速度、速差、後插補時間等因素息息相關，所以在不同切線方向的線段相接時，轉角命令誤差會不同。

首先透過轉角擬合的方式，讓使用者設定一個期望的公差值，即可於線段相接處擬合出最大輪廓誤差與公差值一致的曲線來取代原本的直線轉角，也就是不管刀具路徑的切線方向如何改變，轉角命令誤差都會在拘束條件內，且曲線須包含切線、曲率連續。得到擬合後的刀具路徑，接下來會介紹插補的方法與流程，以及進給率的規劃方式，最後經由驗證，此方法可以不需要經過後插補器設計來達到各軸平滑，以避免後加減速所產生的命令誤差。

Abstract: In computer numerical control (CNC) systems, linear segment (G01) is frequently used to describe the tool path. Conventional interpolation method plans the acceleration / deceleration feedrate profile on the tool path, and then the tangential feedrate profile is distributed onto the x-axis and y-axis. However, velocity difference could occur in each axis and the corner command error is hard to calculate. This is closely related to the maximum acceleration, velocity difference, and the after interpolation time. Hence the corner command error will be different when different orientations of linear segments connect with each other.

At the junction point between two linear segments, a new path can be generated through the corner rounding method to replace the original linear path. First, the user can set an expected tolerance. Then curve fitting is performed so that the maximum contour error is the same with the expected tolerance. This means that no matter how the tool path changes, the maximum contour error in the corner will be limited. The fitted curve can have tangential and curvature continuity. After generating a new tool path, the process of interpolation is introduced to plan the feedrate accordingly.  The validation shows that the feedrate profile could be planned smoothly without the aid of after interpolation design which could reduce the command error effects.

關鍵詞：B-spline曲線, 轉角擬合, 曲率連續

Keywords：B-spline, Corner rounding, Curvature continuity

前言
1.1 研究動機
CNC控制器中標準加工流程為NC-code讀入後，會經解譯器（Interpreter） 將操作人員熟悉的NC-code轉換成控制器的格式，然後進插補器（Interpolator） 規劃加減速並產生各軸命令，最後把各軸的命令點以伺服控制的方式，讓工具機照CAM產生的路徑進行加工，如圖1所示，其中插補器在工具機數控系統中佔有十分重要的角色，傳統的插補方法有前插補（Before Interpolation）與後插補（After Interpolation）兩個部分。

1.1.1 前插補
顧名思義，前插補是將路徑切線速度分配到各軸前，就先做加減速規劃，然而兩個線段存有角度差的緣故，在切線方向規劃好的速度當分配到各軸時，會有速差的情形發生，以圖2中兩段G01直線相接的加工路徑為例。從圖3可見到對N1和N2兩個block以最大切線速率F=500 mm/min進行速度規劃，但將速度分配到X、Y軸時，因切線方向不同，會在線段銜接處產生速差，且速差的大小會受到角度的不同而影響。

1.1.2 後插補
相較於前插補而言，在路徑上先不做加減速，而是在分配到各軸時才進行加減速規劃，如圖4，因此即便路徑有角度變化時，也不會有前插補時的速差情形，然而後插補雖然可以使線段相接時的各軸速度平順，但同時也會在轉角處造成誤差，如圖5，以一個直角的路徑為例，從圖6可清楚看到，當速度分配到各軸再做加減速時，X軸的加工時間會拉長，即X軸尚未結束，Y軸就開始運動，這段X、Y軸重疊的部分就會造成轉角命令誤差。
因此傳統的插補方法是在切線方向上先進行前插補，將速度分配到各軸後，再對各軸速度命令做Convolution，達到各軸速度平滑即後插補的功能，參考文獻[2]有推導出轉角命令誤差與最大加速度、速差、後插補時間等等的關係，但過程繁複，而且實際加工時並不會一直改變後插補時間，所以誤差是隨著切線角度方向的改變而一直變動，因此在加工時如何能夠確保其轉角時的命令誤差成了一個有趣的研究課題。