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熱力學與最小作用量原理概論

刊登日期：2018/06/01

摘要：古典力學(Classical Mechanics)與熱力學(Thermodynamics)皆為機械工程學基礎理論，而工程的基礎在於強固的理論。本文試將論述兩者之間的關聯，此舉或盼能為研究人員提供一個關於熱力學的較簡明論述，或盼從而獲得一個簡化處理熱力學問題的方法。

Abstract：Classical mechanics and thermodynamics are two of the basic theories of mechanical engineering. The connection between these two theories is discussed in this article, in hopes of offering engineers a brief statement or a simplified processing method for thermodynamics.

關鍵詞：熱力學、最小作用量原理、配分函數
Keywords：Thermodynamics, The principle of least action, Partition function

前言
熱力學為許多優秀工程師們處理內燃機問題時所逐步建立的科學，熱力學與古典力學的連結除了些許假設外幾乎已無縫接軌[1]. 然而藉由量子論，兩者之間或另可構築一條順暢軌道予以連結，而構築此軌道的基石就是最小作用量原理。
古典力學與最小作用量原理
“物含妙理總堪尋”。當樓頂上的鴿子飛降至鄰近較矮樓頂時，其飛行路徑通常並非直線，而是近似一條最速滑降線[2]，如圖1(a)所示。無獨有偶的，當一顆鋼珠(粒子)，自某個位勢頂端滑降，不計摩擦力，其路徑亦非直線，而是一條最小作用量路徑，如圖1(b)所示。

圖1 兩條類似路徑： (a)最速滑降路徑； (b)最小作用量路徑

最小作用量原理就是漢彌爾頓(W. Hamilton, 1805-1865)原理，為求精準起見，茲以數學的語言描述最小作用量路徑，其型式如下[2]：

δ ∫ Ldt = 0 (1)

其中： ∫Ldt定義為作用量；L≣K-V稱為拉氏量，其中K≣m(速度)2/2=m[(dx/dt)2 +(dy/dt)2]/2為粒子動能，m為粒子質量；V≣V(x，y)為粒子所遭遇之位勢；x, y為二維空間直角座標，t為時間；積分上下限為t2及t1，分別為粒子運動的初始時間與終端時間；變分算符δ之作用乃是：當路徑偏離最小作用量路徑，其變分值大於零；當路徑為最小作用量路徑，其變分值等於零。依變分法，上式可轉化為歐勒(L. Euler， 1707-1783)拉格郎治(J. Lagrange， 1736-1813 )方程式[2]：

∂L/∂xi = d[∂L/∂xi’]/dt (2a)

其中i =1，2；位移x1≣x， x2≣y；速度vi=dxi/dt≣xi’，將L=K-V= m[(x’)2 +(y’)2]/2-V(x，y)代入上式而有：
-∂V/∂xi = d[∂K/∂xi’]/dt (2b)

以向量表示如下：
-▽V = m x” (3)

其中▽為梯度算符，粗體x代表x及y方向位移之向量和，x’’≣d2 x/dt2為粒子加速度。因位勢的負梯乃為粒子在位勢中的受力[2]，故 F=-▽V於是上式可寫成：

F = m x” (4)
是謂牛頓第二運動定律，由此可見：最小作用量原理乃為牛頓第二運動定律之基本原理，至少應為其充份條件。
量子力學與最小作用量原理
就量子力學而言，粒子不全然為質點，同時也是物質波；最小作用量路徑不再是粒子遵循的唯一路徑，而是發現粒子’行蹤’(註1)之機率最大者。此現象可以由單狹縫繞射實驗表明[3]。
如圖2(a)所示，粒子於時間t1由單狹縫粒子源發出，於時間t2在屏幕上形成繞涉圖形，其中最小作用量路徑，在無位勢情況下顯為直線路徑，以l0表示，其出現機率為I0，實驗顯示：粒子偏離古典路徑所造成的繞射強度與偏離程度呈現反相關趨勢；粒子行走某些路徑之機率幾乎為零，造成繞射暗紋(I=0)，此為古典力學無法解釋的現象。
依照狄拉克(P. Dirac, 1902-1984)的意見[3]：物質波波函數與作用量的對應關係如下