磁力機械應用的兩個瞬時鐵損模型比較

摘要：磁力機械如電動機的效率提升一直是產業關注的議題，其中鐵芯損失的功率卻難以直接量測，尤其是在啟動階段或非弦波操作的狀態中，因此許多瞬時鐵損模型在近年仍然被研究討論，特別是對於高頻非弦波操作的小型變壓器。本文比對了兩種由全頻域收斂的瞬時鐵損模型，可以從低頻到高頻及非弦波估算磁力機械的鐵損，並針對中鋼35CS300電磁鋼片牌號比較其相對誤差。
Abstract：The efficiency improvement of magnetic machinery, such as electric motors, has always been a topic of interest in the industry. However, measuring the power loss in the iron core directly is challenging, especially during startup phases or under non-sinusoidal operating conditions. As a result, many transient iron loss models have continued to be researched and discussed in recent years, particularly for small transformers operating at high frequencies and under non-sinusoidal conditions. This article compares two transient iron loss models that converge across the full frequency spectrum, capable of estimating the iron loss in magnetic machinery from low to high frequencies and under non-sinusoidal waves. It specifically compares the relative errors using the 35CS300 electromagnetic steel grade from China Steel.

關鍵詞：瞬時鐵損模型、電磁鋼片、鐵損
Keywords：Instant core-loss model, Electromagnetic sheet, Core loss

前言
隨著高功率密度電動機及高頻變壓器技術的發展，磁力機械不僅越來越小，對於效率的要求也越來越高。傳統感應電動機設計時，鐵芯損失約占電動機損的百分之二十的估計經驗值已經不合時宜。然而許多磁性材料如電磁鋼片的型錄資料仍然僅提供有限的頻率鐵損標示，也難以滿足目前脈衝調變取代平滑弦波的電力操作方式。如何跨越嘗試錯誤法或經驗的局限，提供設計者更完整的鐵芯效率準確評估，是瞬時鐵損模型發展的目的。
時域的鐵損模型，最早是由頻域的Steimetz equation[1-3]演變而來。以Steinmetz equation (SE)為基礎的模型Modified SE (MSE)適合應用在鐵粉等均勻結構的鐵芯材料以及較低的頻率，對於電磁鋼片的非線性特性較難掌握。因此隨後有一連串的模型Generalized SE (GSE)及improved Modified SE (iMSE) [4-10]被開發，以滿足在數十kHz高頻與非弦波(梯形波)的應用。然而這些瞬時鐵損模型有一個缺點，就是總在方程式中有一個積分項，這意味著它只能應用在週期性類似變壓器這類磁力機械中，對於非週期性的變化缺乏足夠的可參考性。此外，因為這些模型是針對高頻變壓器磁性材料開發，因此不適合於電動機(馬達)的應用。
expanded GSE [6]的瞬時鐵損模型則是針對電磁鋼片特性而開發，因為它是由電磁鋼片全頻域的Epstein標準鐵損資料以數值法趨近，頻率範圍可以涵蓋從低頻到高頻(5 kHz以上)，而且方程式項目中並沒有積分項，任一時間點的鐵損與其它時間沒有相依性，可以應付啟動或非週期的任意分析。因為它與全頻域(50-5000 Hz)及磁域(0.1-1.8 T)吻合，所以也可以利用它進行內插或有限的外插鐵損預測。
相較於expanded GSE的全數值分析模型，由磁場物理推導而得的物理鐵損模型[11]亦有類似的性質，只是它的模型方程式更貼近物理意義，顯示鐵損除了相關於磁性材料導電引起的渦電流損失，也是由於導磁係數的鈍化所導致的結果，此鈍化並反應出磁滯現象。
以下將以中鋼高品級電磁鋼片35CS300 Ep-stein全頻域測試資料為基礎，比較expanded GSE以及物理鐵損模型兩者之間使用上的差異以及精確度的相互比較。
電磁鋼鐵損在兩個瞬時模型的比較
expanded GSE及物理鐵損模型具有多個獨立係數，以趨近不同磁性材料、磁路結構以及磁場頻率所產生的鐵損結果。由大量的數值資料所組成的多維空間必須採用一個誤差最佳化的判定標準，本文採用幾何平均方式最小化誤差值，算式如下

(1)
error是鐵損模型與實際量測數據的總誤差，必須越小越好。Pmeasurement是磁性材料在特定頻率與磁通密度所量測的弦波狀態下的平均鐵損值，而Pcalculation是鐵損模型在相同頻率與磁通密度所計算出來一週期平均的鐵損值。這樣的計算方式對所有量測數值一視同仁，因此必須先篩選數值分布狀態，使其均勻分布在50-5000 Hz，0-1. 8T的全域空間中，以避免模型過度偏向某個頻域或某個磁域造成收斂偏差。
1.expanded GSE瞬時鐵損模型
expanded GSE是由最基礎的時域模型MSE發展出來，為了能最佳收斂到電磁鋼片，非線性的對數鐵損曲線與強磁下的巨大鐵損表現，增加了許多個指數項。其方程式如下：

(2)
P代表鐵損功率，B代表磁通密度，B'是磁通密度時間變化量，而k, n, m, g, h, c, b, d皆為常數係數，隨磁性材料與磁力結構不同而有所差異。雖然係數高達8個，但是expanded GSE收斂的方法卻很容易。它將全域鐵損分布分為兩個區域，低磁區及強磁區，其指數擴展部分是對應到強磁區，可以先忽略。即收斂開始時設定c=0，針對較低的磁通密度區域進行其它係數的收斂。對一般的矽鋼片而言較低的磁通密度通常是在0.8 T以下，這只是粗估值，多或少並不影響最後收斂結果，但是可能過程會比較冗長。n ,m, g, h粗收斂後再進行c, b, d的粗收斂，最後進行全部係數的細收斂。
expanded GSE方程式並不具備物理上的意義，主要是以數值分析方法及嘗試錯誤法得到的結果。方程式中有一個缺陷是當B'=0時，00沒有數值解，但是直觀上應該為0，在某些計算器上必須繞過此點以避免錯誤產生。此模型還有一個缺點，因為它的維度很高，所以有很多收斂點，要找到最好的一個必須多試幾次。
2.物理瞬時鐵損模型
物理鐵損模型是目前最新的瞬時鐵損模型，它與expanded GSE最大的不同在於它的方程式是由磁場感應方程式推導而來，具有與磁性材料端物理性質扣合的現象，如渦電流、鐵芯損，磁滯損等。其方程式如下

(3)
Ceddy代表渦電流損失的常數係數，Ciron代表磁性材料導磁損失的常數係數Chyst代表磁滯損失的常數係數n1， n2，m1，m2，代表了各因次的常數係數，而B0代表了磁滯損失的磁通密度飽和值。
同樣8維的變量，物理鐵損模型收斂速度卻很緩慢，也不容易分區進行，而且初始值必須適當挑選，以免朝向錯誤的收斂方向。但是此模型的好處是有唯一的最佳收斂點，因此方程式中各係數的物理意義值得進一步研究。